\(\left\{{}\begin{matrix}15x+9y+z=300\\x+y+z=100\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow14x+8y=200\Rightarrow7x+4y=100\)

\(\Leftrightarrow7x=4\left(25-y\right)\)

Do 7 và 4 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow x⋮4\Rightarrow x=4k\)

\(\Rightarrow y=25-7k\)

\(z=100-\left(x+y\right)=3k+75\)

Vậy nghiệm của pt là \(\left(x;y;z\right)=\left(4k;-7k+25;3k+75\right)\) với \(k\in Z\)

pt sau của bạn bị thiếu thì phải

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)

Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)

Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)

Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)

\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)

\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)

\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)

Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:

$x^3=x^2+x+2$

$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của hakito - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

a. Bạn tự giải

b. Hệ có nghiệm khi \(m\ne2\) , khi đó hệ tương đương:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)y=-2\\x+2y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-2}{m-2}\\x=3-2y\end{matrix}\right.\)

Do \(x=3-2y\Rightarrow\) nếu \(y\in Z\) thì \(x\in Z\)

Mà \(y=\dfrac{-2}{m-2}\Rightarrow y\in Z\) khi \(m-2=Ư\left(2\right)\)

\(\Rightarrow m-2=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow m=\left\{0;1;3;4\right\}\)